Para entrar pelo Game Center você precisa vincular seu dispositivo iOS à sua conta do Game Center. Para isso, no menu do seu dispositivo, acesse Ajustes > Game Center. Verifique se o Game Center está ativado e que você está conectado ao perfil correto do Game Center. Se quiser entrar com um perfil diferente, selecione a opção "Usar Apple ID diferente no Game Center" localizada na parte inferior do menu de Configurações do Game Center.